橋梁エンジニアであれば、Balanced Cantilever Bridge または Free Cantilever Method という橋梁形式を聞いたことがあるはずです。では Balanced Cantilever Bridge とは何でしょうか。Balanced Cantilever Bridge とは、balanced cantilever method を用いて施工されたプレストレスト桁橋（Prestressed girder bridge）を指します。特徴のひとつは、上部構造が主としてプレストレストボックスガーダー（prestressed box girder）で構成される点です。
図. Balanced Cantilever Method を適用して建設中の橋梁
バランスドカンチレバー工法（Balanced cantilever method）とは、橋梁下部に支保工を設置せず、特殊な架設装置を用いて各橋脚から左右にバランスを取りながら、ポストテンション（post-tensioning）によって区間を順次接合していき、支間を構築して上部構造を完成させる工法を指します。カンチレバー工法は、大きく現場打ちカンチレバー工法（Cast-in-Place Cantilever Method）とプレキャストカンチレバー工法（Precast Cantilever Method）に分類できます。
Balanced Cantilever Method を用いた施工計画は現場条件により異なりますが、全体的な施工段階は下図のとおりです。
図. Balanced Cantilever Method を利用したプレストレストコンクリート橋の施工手順
Balanced Cantilever Method で施工された橋梁の完成後の構造形式は、ラーメン橋（Rigid Frame Bridge）と単純支持橋（Supported Bridge）の形式に分類できます。
Rigid Frame Bridge は、上部構造と下部構造を一体化した橋梁形式です。Partially Articulated Bridge、Articulated Bridge、Continuous Bridge に区分することができます。Rigid Frame Bridge 形式の一般的な利点は、上部構造と下部構造が一体化されているため支承が不要であることです。連続構造の場合は伸縮装置が減少し、走行性が向上し、維持管理も容易になります。
そして、多支間橋では地震時に水平力を各橋脚へ分散して設計でき、橋脚基部に作用する曲げモーメントも減少するため、耐震性の面で有利となる可能性が高いです。また、不静定構造であるため、部材の一部が降伏しても応力の再配分が行われ、構造系全体の急激な破壊を防ぐことができます。さらに、架設時に不均衡モーメントに抵抗するための仮固定装置が不要です。ただし、不静定構造であるため、プレストレス、温度、コンクリートの乾燥収縮、クリープ、基礎の不同沈下などの影響を大きく受けます。
図. Rigid frame bridge type
カンチレバー工法で施工した後、中央継手部をヒンジ（Hinge）として処理する橋梁形式です。この構造形式の利点は、静定構造であるため構造解析および設計が容易であることです。また、架設中の曲げモーメントと完成後の曲げモーメントが一致するため、テンション材（tendon）の配置が簡単で、使用量を減らすことができます。さらに、橋脚基礎が不同沈下した場合でも、連続桁橋形式に比べその影響が小さいため、軟弱地盤でも適用が可能です。
短所としては、静定構造であるためモーメントの再分配が行われず、連続橋形式に比べて橋梁の耐荷力が小さくなります。ヒンジ部は設計および施工が難しく、長期的にはヒンジ部で様々な問題が発生し、維持管理費が増加します。支間中央がヒンジ構造であるため、橋台側の桁が跳ね上がるおそれがあります。最後に、ヒンジはコンクリートのクリープによる鉛直たわみや変形角に対する拘束力を失うため、長期的な変形が大きくなり、車両の走行性に問題を引き起こし、景観上の問題も生じます。これらの問題により、現在では国内外を問わずこの方式は使用されていません。
図. Partially articulated balanced cantilever bridge : central hinge type
基礎の沈下などにより支点間の不同沈下が発生する可能性がある地域では、連続橋形式は望ましくありません。このような地形条件を考慮しつつ、partially articulated bridge に比べてたわみ角の差が大きくならないよう工夫された方式が、中央に独立したゲルバー桁を架設する方法です。しかし構造的特性から、3径間橋の場合、両側の橋台側径間が非常に短い場合にのみ適用性が高いとされています。中央に設置されるゲルバー桁は主に正曲げモーメントのみを受けるため、箱桁断面を使用する必要はなく、カンチレバー部と腹板数を合わせた I 形や T 形断面を採用することで自重を軽減することもできます。また、コンクリートではなく鋼材を使用して鋼・コンクリート複合構造として計画することも可能です。しかし、この形式も partially articulated bridge と同様に、耐荷力が小さく、伸縮装置が増えるという欠点があります。
図. Articulated balanced cantilever bridge : gerber type
Continuous Balanced Cantilever Bridge は、カンチレバー部を施工した後、継手部（Key segment）を現場打ちまたはプレキャストセグメントで接続し、緊張力を導入して一体化したものです。Continuous Balanced Cantilever Bridge は、伸縮装置が減少するため走行性が良く、橋脚の支承も不要で維持管理が容易です。高次不静定構造であるため耐震・耐風性能に優れているという特徴があります。しかし、連続桁橋形式に比べて高次不静定であるため、プレストレス、温度、コンクリートの乾燥収縮、クリープ、基礎の不同沈下などの影響を大きく受け、橋脚基礎には常に水平力が作用するという欠点があります。
一方で、地震荷重などによる水平力を各橋脚に分散して設計でき、支承に必要な費用も削減できるため、連続桁橋形式より経済的であるという利点もあります。多径間連続ラーメン橋形式では、コンクリートのクリープ・乾燥収縮、プレストレス、温度変化などの影響により桁の伸縮量が大きく、橋脚の変形量も増加するため、塑性能力（すなわち靱性）が大きく、高い橋脚を有する橋梁構造に適しています。
図. 概念図
図. Key segment 施工
図. Continuous balanced cantilever bridge
Supported Bridge は、ボックスガーダーを 2 径間以上連続させ、橋脚および橋台上に設置された支承によって支持される橋梁形式です。Supported Bridge 形式をカンチレバー工法で架設する場合、架設時に発生する不均衡モーメントに抵抗するための仮固定装置を追加で設置する必要がある点、また供用中における支承の維持管理が必要となる点が短所です。支承の形式と機能に応じて、次のように分類されます。
図. Supported bridge type
Single Fixed Support 方式は、1 つの固定支承のみを設置し、その他の支承はすべて可動支承とする連続桁橋形式です。温度変化や地震荷重などによる上部構造の水平力が固定支承のある橋脚に集中するため、固定支承が設置される橋脚は大きな断面で設計する必要があります。縦方向の温度変化、クリープおよび乾燥収縮による不静定力は発生しません。
図. single fixed supported balanced cantilever bridge 概念図
Multi Fixed Support 方式は、複数の固定支承を設置し、地震荷重などによる水平力を複数の橋脚へ分散させる連続桁橋形式です。固定支承が設置される橋脚は、Single Fixed 方式に比べて小さな断面で設計することが可能です。しかし、温度変化、クリープ、乾燥収縮などにより不静定力が発生します。温度変化などの影響に対しては、橋脚の靱性を考慮して解析する方法や、地盤の変形を考慮して解析する方法があります。
図. Multi fixed supported balanced cantilever bridge 概念図
Stopper Method は、1 本または複数の固定橋脚を設置し、その他の可動橋脚にストッパーまたはダンパーを追加で設置する連続桁橋形式です。このストッパーにより、地震荷重などによる過大な水平力は橋脚に分散されますが、温度変化などによるボックスガーダーの伸縮は拘束されません。ストッパーには、液体を使用したタイプ、板ばねを使用したタイプ、油圧シリンダーを用いた機械式などがあります。
耐震設計を考慮しない場合、水平力は主に温度荷重や車両ブレーキ荷重によるものであり、支承で対応することが可能でした。しかし耐震設計を考慮すると、水平力が支承で処理できないほど大きくなる場合があり、その際にはストッパーや免震支承を用いることで、効果的にこの問題へ対処することができます。
図. Stopper Method
Balanced Cantilever Bridge の上部構造は PSC コンクリート桁（prestressed concrete girder）です。ここでは、この橋梁に使用される PSC コンクリート桁（Prestressed concrete girder）の特徴と計画について説明します。
Balanced Cantilever Bridge の桁は主にボックスガーダーです。このセクションでは、ボックスガーダーが使用される理由を歴史的・工学的観点から説明します。コンクリートボックスガーダーは、アメリカ西部地域で広く使用されてきた形式です。初期には鉄筋コンクリートのみで構成されていました。ボックスガーダーは従来の I 形、T 形などの形式に比べて断面剛性が高く、長支間橋に適しています。また、断面形状の特徴からねじりにも有利です。PSC コンクリートの普及に伴い、ボックスガーダーにも適用されるようになりました。ボックスガーダーは腹板および上部スラブに緊張材を配置しやすく、現在でも広く使用されている桁形式です。ボックスガーダーは 1 セルまたはマルチセル構造を持ちます。1 セル断面は腹板を厚くでき、緊張材の配置が容易です。マルチセル断面は 1 セルに比べてより広幅な橋梁計画を可能にします。各断面形状には長所と短所があるため、設計者は計画に応じて適切に選定する必要があります。Balanced Cantilever Bridge に使用される桁はセグメントとして製作され、橋脚から 1 セグメントずつ接合されます。桁は現場で型枠を用いて直接製作することもでき、また工場で製作した桁を使用することも可能です。
図. Cross-section of box girders
図. In-situ concrete girder（左）; Precast girder（右）
In situ concrete method は、施工現場で型枠を用いて桁を製作する工法です。桁は Form Traveller を使用し、1 セグメントずつ順次施工されます。すべての作業が同一手順で繰り返されるため、施工速度が比較的速いという特徴があります。また、各施工段階で誤差を修正できるため、施工精度を高めることができます。
図. In situ concrete method
Precast Concrete Method は、桁を施工現場以外の場所であらかじめ製作し、現場へ搬入して組み立てる工法です。Precast は工場で製作されるため品質管理が容易で、桁の品質を向上できる利点があります。また、桁セグメントの製作を下部構造工事と並行して行えるため、現場打ち方式に比べて工期を短縮できます。上部構造を架設する時点でコンクリートは十分な材齢に達しているため、クリープや乾燥収縮が比較的少なく、prestressing force の減少も抑えられるというメリットがあります。しかし、現場条件によっては precast segment の輸送が重要な課題となります。さらに、精密な施工管理が必要であり、誤差が発生した場合は現場打ち工法に比べて修正が難しいという欠点もあります。
図. Precast Method
Balanced Cantilever Method では、セグメントの大きさが施工期間および作業効率に影響します。セグメントの大きさは架設装置の能力に左右されます。セグメントの長さは 3 m～5 m 程度が最も一般的に使用されます。セグメント分割には、セグメント長さを一定にする方法と、セグメント重量を一定にする方法があります。セグメント重量を一定にする場合、架設装置の能力を一定に保てるため、架設装置の費用を抑えることができます。しかし、セグメントの長さが異なるため鉄筋作業の効率が低下し、セグメント数も増える可能性があるため、工期に影響を及ぼす場合があります。一方、セグメント長さを一定にする場合、ピアヘッド（Pier head）のセグメントが重くなるため架設装置の能力が大きくなるという欠点がありますが、セグメント長さが一定であるため鉄筋作業の効率が向上し、工期短縮が期待できます。
図. Segment 分割計画
Balanced Cantilever Bridge の緊張材（tendon）は、縦方向および横方向に配置されます。縦方向の緊張材はボックスガーダーの上部スラブおよび下部スラブに配置されます。上部スラブに配置される緊張材は負曲げモーメントに抵抗し、下部スラブに配置される緊張材は正曲げモーメントに抵抗します。横方向の緊張材は、ボックスガーダーのカンチレバー部に発生するモーメントに抵抗するために配置されます。縦方向の緊張材が傾斜配置されていない場合、せん断強度を補強するために腹板に垂直ウェブテン던（vertical web tendon）を設置することもあります。
図. ボックスガーダー断面のテンション材配置
図. テンション材の縦方向配置
Balanced Cantilever Bridge の橋脚形式は、大きく短柱（Short/Stocky column）、長柱（Long/Slender column）、そして 2 柱（twin leaf/twin column）形式に分類されます。短柱形式では、柱長の影響や座屈を考慮せず、コンクリートの強度と鉄筋の降伏に基づく比較的簡易な設計が可能です。長柱形式は、橋梁下の十分な空間を確保しなければならない場合や、深い渓谷を横断する場合など、周辺環境条件を克服するために採用されます。長柱形式は短柱に比べてより詳細な設計が必要であり、その理由は柱が長いため p-delta 効果による二次モーメントおよび座屈の影響が大きくなるためです。最後に、2 柱（twin leaf）形式は 2 本の柱でピアヘッド（pier head）部のガーダーを支持する形式です。この形式は 2 本の柱で鉛直荷重を分担するため安定性が高く、水平方向には柔軟であるため連続橋の伸縮にも適切に対応できます。しかし、柱断面が薄く剛性が小さいため安定性の検討が必要であり、座屈の影響も考慮した設計が求められます。
図. 短柱（Short/Stocky column）
図. 長柱（Long/Slender column）
図. 2柱（Twin leaf/Twin column）
Balanced Cantilever Bridgeはコンクリートの時間依存特性であるクリープおよび乾燥収縮の影響を大きく受け，構造系の変化に伴う応力再分配が大きい構造です。したがって時間依存性を有する材料を考慮した完成系および施工段階解析が必須です。設計者は解析を行うために以下の4가지を理解しておく必要があります。
1. 施工段階および各施工段階の工事期間
2. 施工段階ごとに載荷される設計荷重
3. 施工段階ごとに変化する境界条件
4. 使用プログラムの構造モデリング手法および材料物性値
縦方向の Balanced Cantilever Bridge は、梁要素を使用してモデリングすることができます。ガーダーの梁要素長は、計画されたセグメントの長さを考慮して設定します。使用中の構造解析ソフトウェアで Tapered section property を利用できる場合、ガーダーのさまざまな断面を考慮して梁要素に割り当てます。
図. Balanced Cantilever Bridge 梁要素モデリング
Balanced Cantilever Bridge 設計のための設計荷重は、各国の設計基準を用いる必要があります。考慮すべき主な荷重は次のとおりです。
1. 構造物の自重 (Self-weight of structure)
2. フォームトラベラー、リフト装置などの建設用装置 (Devices for construction such as form travelers, lift devices, etc.)
3. 打設時の湿潤コンクリート重量 (Weight of wet concrete)
4. プレストレス (Prestress)
5. 時間依存荷重 (Time dependent load)
6. 重ね合わせ荷重 (Superimposed load)
7. 温度荷重 (Thermal load)
8. その他 (Others)
完成系では、重ね合わせ荷重、移動荷重、地震荷重などに対する追加検討が行われます。ほとんどの荷重は、プログラムが提供する基本的な荷重入力機能を利用して適用することができます。また、プログラムに個別の特別機能がある場合は、これらの荷重をより便利に考慮することができます。
Balanced Cantilever Bridges は施工段階ごとに荷重と境界条件が変化するという特徴を持っています。また、時間とともに変化する材料特性も考慮する必要があります。したがって、施工段階解析を通して構造物の安全性を検討する必要があります。施工段階解析をサポートするプログラムを使用する場合、効率的に解析を実施することができます。
図. Balanced Cantilever Bridges の施工段階計画
図. 施工段階の要素モデリング
Balanced Cantilever Bridge を設計する際に考慮すべき重要な事項は次のとおりです。
Balanced Cantilever Bridge では Post tensioning が使用されます。Prestress は施工段階ごとに適用されます。そのため、施工段階に応じて発生する可能性のある Prestressing force の損失を補正するため、計算が必要です。Prestressing force に損失を生じさせる要因は大きく二つに分類されます。一つは即時損失（Instantaneous loss / Immediate loss）、もう一つは長期損失（Time dependent loss / Long-term prestress loss）です。
即時損失の要因としては、コンクリートの弾性変形、定着装置の滑り、テンション材とシース間の摩擦損失があります。これら三つは、緊張力を構造物に導入する際に即座に発生します。Balanced Cantilever Bridge では、セグメントを段階的に施工するため、複数の継手が発生します。各継手ではシースの予期しない勾配や曲率が生じる可能性があるため、摩擦による追加損失に注意する必要があります。
長期損失の要因には、コンクリートのクリープと乾燥収縮、そして緊張材のイワン（relaxation）があります。コンクリートの乾燥収縮は、コンクリートが硬化（hardening）する過程で収縮する現象であり、現場打ちコンクリート工法（In situ concrete method）の場合は、prestressing force の損失量計算にこの影響を考慮する必要があります。一方、PSC 工法（precast concrete method）を使用する場合は、乾燥収縮の影響は比較的少なくなります。クリープは、一定の荷重が構造物に長期間作用したとき、内部ひずみが増加する現象です。この現象はコンクリートにも鋼材にも発生し、鋼材に発生するものをイワン（relaxation）と呼びます。構造物完成後にも追加の変形が発生するため、これも Prestressing force の損失を引き起こします。
図. プレストレス損失
Camber diagram は、施工管理および完成後の橋梁線形を管理するためのものです。Camber diagram を作成するためには、施工段階におけるたわみを計算する必要があります。通常、たわみ曲線は主桁端部の基準線を基準として作成されます。たわみを計算する際に考慮すべき項目は次のとおりです。
1. 自重によるたわみ
2. prestressing force によるたわみ
3. クリープ・乾燥収縮・リラクゼーションによるたわみ
4. 架設装置によるたわみ
5. 追加固定荷重によるたわみ
6. 静的荷重によるたわみ
7. 温度荷重によるたわみ
8. 橋脚の変形によるたわみ
9. 基礎沈下および反力変化によるたわみ
たわみ曲線の計算が完了すると、そのたわみ曲線を反転させた曲線と最終線形曲線を合成して Camber diagram を算出できます。
図. たわみ曲線と Camber diagram
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