동해석 (Dynamic Analysis)

1. 동해석이란?

교량을 설계 할 때 반드시 필요한 해석 중 하나가 동해석입니다. 정적 해석은 시간에 대한 효과를 무시하고 물체나 시스템에서 힘의 평형이 이루어진 상태를 해석하는 것이기 때문에 시간이 흘러도 어떤 변화도 없는 상태입니다. 그래서 정적인 문제는 주어진 하중의 크기로 부재 내부의 전단력, 모멘트, 변형 등이 결정됩니다. 동해석은 시간에 따른 변화(시간 또는 주파수를 고려하여)를 포함한 물체나 시스템의 거동을 분석하는 것이라고 할 수 있습니다.

대표적으로 교량설계에 적용되는 동해석은 내진설계와 철도교의 동적 이동하중 해석이라 할 수 있습니다. 이 글에서는 프로그램을 사용해서 동해석을 수행할 때, 사용하는 기능들의 작동원리와 이론적인 배경들에 대해 설명하고자 합니다.

2. 내진설계를 위한 동해석

내진설계 시 지진의 거동을 해석하는 방법은 정적 해석과 동적 해석방법으로 구분되며, 동적 해석방법은 UBC(Uniform Building Code)에서 제안하는 응답스펙트럼 해석과 시간이력 해석이 있습니다. 그 중 응답스펙트럼 해석이 보편화된 방법이고, 설계응답스펙트럼과 구조물의 진동주기(natural periods), 진동모드형상(mode shapes) 등 동적특성(dynamic characteristics)을 계산하기 위한 고유값 분석, 모드조합법(mode superposition method)에 대한 이해가 필요합니다.

A. 응답스펙트럼 해석

응답스펙트럼 해석(Response Spectrum Analysis)은 해석방법에 따라 단일모드스펙트럼(single-mode spectrum analysis method)과 다중모드스펙트럼(multi-mode spectrum analysis method)으로 나눌 수 있습니다. 교량과 같이 복잡한 구조물의 경우 여러 개의 진동모드(vibration mode)가 구조물에 복합적으로 영향을 주기 때문에, 일반적으로 교량 해석에서의 응답스펙트럼 해석은 다중모드스펙트럼 해석을 의미합니다.

- 등가정적해석(Equivalent Static Analysis)이라고도 불리며, 구조물의 강성과 질량이 크게 변하지 않는 규칙적인 형상을 가진 구조물에 적용되는 방법이다.
- 구조물의 기본진동주기를 이용해 지진의 영향을 등가정적하중(Equivalent Static Force)으로 환산합니다. 그리고 탄성해석을 수행해서 부재력 및 변위를 구하고 구조물 전체의 지진응답을 계산합니다.

B. 설계응답스펙트럼

응답스펙트럼 해석은 다자유도 시스템(multi-degree of freedom)을 단자유도시스템(single-degree of freedom)의 복합체로 가정해서 시스템의 응답최대치(변위, 속도, 가속도)를 고유주기(natural vibration period, Tm)에 대한 함수로 나타낸 그림입니다. 시스템의 응답 최대치인 변위, 속도, 가속도를 Tm의 함수로 나타낸 것을 각각 변위 응답스펙트럼(deformation response spectrum), 상대속도 응답스펙트럼(relative velocity response spectrum), 가속도 응답스펙트럼(acceleration response spectrum)이라고 합니다.

- 일반적인 구조물은 무한개의 질점(material particle)으로 형성된 무한자유도입니다. 이러한 시스템에 분포되어 있는 질량은 대표적인 몇 개의 점에 집중되어 있다고 가정해서 해를 계산할 수 있는데, 이러한 진동계를 다자유도계라고 합니다. 예를 들어, 강체운동(rigid body motion)의 경우 3개의 병진운동(translation motion) 자유도와 3개의 회전운동(rotational motion) 자유도를 가지게 되므로 총 6자유도가 됩니다.

교량의 내진설계에 사용하는 설계응답스펙트럼은 일반적으로 아래 그림과 같이 설계기준에서 정의된 설계 스펙트럼을 사용합니다.

AASHTO와 Eurocode는 Tb, Tc, Td와 그에 상응하는 구간의 가속도 값을 계산할 수 있는 식을 제시해 주고 있으며, 지반 계수(soil factor), 중요도, 감쇠 보정계수, 스펙트럼, 가속 계수, 최고 지면 가속도 계수 등을 변수로 사용합니다. 단, AASHTO 스펙트럼의 y축은 가속도를 중력가속도로 나눈 값이고, Eurocode는 중력가속도가 곱해진 값이기 때문에 사용할 때 주의가 필요합니다.

우리는 지진설계를 위해 이 스펙트럼으로부터 고유치해석을 통해 얻은 구조물의 고유주기에 상응하는 가속도 값을 얻게 됩니다. 이 그림은 구조물의 최대변형으로부터 얻을 수 있으며 아래의 설명과 같은 과정을 통해 작성할 수 있습니다.

동해석을 통해 운동방정식을 계산하면 구조물의 고유주기별 정적 해석을 통해 구조물 설계에 필요한 부재력과 응력을 결정할 수 있습니다. 이러한 정적 해석을 위해서는 등가정적하중(equivalent static force)의 개념이 필요합니다.

아래 그림과 같이 횡강성(lateral stiffness, k)을 가진 구조물에 시간에 따라 변하는 외력F(t)이 작용했을 때 변형(deformation, u(t))이 생긴다고 가정하면, 매 순간마다 변위를 기록함으로써 변위응답이력(deformation response history)을 기록할 수 있고, 이 과정이 동해석이 됩니다.

- 감쇠가 없는 단자유도시스템(SDOF)에 외력이 가해지면 사인파(sine wave)형태의 조화진동(simple harmonic motion)을 합니다.
시스템이 한 사이클을 자유진동 하는데 소요되는 시간을 고유주기(natural period of vibration)라 하고 단위는 sec입니다. 단위가 rad/sec인 고유진동수는 고유주기와 ωn=2πTn 의 관계를 갖습니다.
감쇠가 없는 진동계를 가정하면 ωn=√km 으로 나타낼 수 있고, 구조물의 강성이 강할수록 진동수는 빨라지고 질량이 클수록 진동수가 늦어지는 물리적 특성을 반영하고 있습니다.

유사가속도 응답스펙트럼은 유사가속도를 구조물의 고유주기의 함수로 그린 것을 말합니다. 여기서 유사가속도는 A(t)를 계산하는 식과 변위응답스펙트럼 (deformation response spectrum)의 최고변위응답(peak deformation)으로 부터 결정할 수 있습니다. 유사가속도를 계산하는 식은 등가정적하중으로부터 유도했고, 변위응답스펙트럼은 다음과 같은 과정을 통해 작성할 수 있습니다.

단자유도스펙트럼 해석을 통해 얻은 최대변위와 고유진동의 관계를 다음과 같이 표현할 수 있으며 A, V, D는 각각 유사가속도, 유사속도, 최대변위입니다.                                                                                                                     A=ωn×𝑉=𝜔𝑛2×𝐷

위의 식으로도 알 수 있듯이 변위 응답스펙트럼을 알면, 유사속도 스펙트럼과 유사가속도 스펙트럼을 대수연산(algebraic operation)을 통해 구할 수 있습니다. 이 세가지 스펙트럼은 구조물의 응답을 다르게 표현했을 뿐이지 각각 물리적으로 의미 있는 값들을 제공하고 있습니다. (A, V, D는 각각 등가적정하중과 밑면전단력의 최대값, 지진시에 구조물에 저장되는 최대변형에너지, 시스템의최대변위와 연관되어있습니다.) 그리고 설계스펙트럼 작성을 더 쉽게 하기 위해 ‘Veletsos’와 ‘Newmark’에 의해 조합스펙트럼이 개발되었습니다.

조합스펙트럼은 세 개의 응답스펙트럼을 네 방향 대수용지그래프(four-way logarithmic paper)에 단 하나의 그림으로 조합한 것입니다.

C. 고유값 분석

구조물은 형상, 재질 및 경계조건에 따라 고유진동 특성을 가집니다. 고유진동 특성이란, 외부로부터의 어떠한 자극을 받지 않는 자유로운 진동상태를 의미합니다. 이러한 특성을 찾는 해석방법을 모드해석, 고유치해석 또는 자유진동해석이라고 합니다. 고유치해석을 통해 구조물의 고유진동수와 이에 대응하는 고유모드를 알 수 있습니다. 고유진동수는 단위 시간당 얼마나 빨리 반복되는가의 정도를 나타내고, 고유모드는 주어진 구속상태에서 자유로이 변형될 수 있는 형상을 의미합니다.

구조물의 고유진동특성은 외력의 영향을 받지 않는 상태의 비감쇠자유진동(undamped free vibration)으로 부터 얻을 수 있습니다. 비감쇠자유진동이기 때문에 감쇠행렬(damping matrix)과 외력이 0인 동적평형방정식을 만들 수 있고, 변위벡터 u(t)를 변위형상함수와 시간 함수의 곱으로 가정해 고유진동수와 고유모드를 계산할 수 있습니다. 다자유도시스템은 강성과 질량이 행렬 형태라는 점을 제외하고 단자유도시스템과 동일한 방식으로 계산할 수 있습니다.

가장 작은 고유진동수를(고유주기는 가장 긴) 구조물의 기본고유진동수(fundamental natural frequency)라고 하며, 구조물의 동적 특성을 나타내는 중요한 척도로 사용됩니다. 고유진동수를 알면 그에 상응하는 모드형상(자유진동모드, 진동모드, 모드)을 구할 수 있습니다. 고유값의 주요 문제인 자유진동모드는 상대적인 값들의 조합으로 그 형상만을 나타내며, 임의의 값으로 절대적인 크기를 가정합니다. 수치해석에서는 모드의 진폭을 임의의 값으로 사용하는 것이 불편하므로 일정한 기준에 따라 모드형상의 진폭을 결정하는 것을 권장하며, 이를 모드형상의 정규화, 얻어진 모드를 정규화 모드라고 합니다.

구조물의 해석 모델을 실제와 같게 만들수록 자유도는 무한정 늘어나게 됩니다. 구조물이 갖는 자유도 만큼 모드가 생기기 때문에, 자유도 개수만큼의 미지수를 갖는 연립미분방정식을 풀어야 하는 상황이 발생합니다. 따라서 효율적인 동해석을 위해서는 적절한 자유도를 선정해서 해석을 수행해야 하는데, 자유도를 줄이는 효과적인 방법 중에 하나가 구조물의 중요한 자유진동모드벡터(Eigenvector)를 이용하는 모드중첩(mode superposition method)입니다.

앞서 말했듯이, 구조해석 모델을 실제거동과 유사하도록 강성행렬(stiffness matrix)을 정확히 모형화하게 되면 그만큼 많은 자유도가 생기게 됩니다. 모드중첩은 이 자유도를 모두 동해석 시에 고려하는 것이 아니라, 동역학적으로 주요한 영향을 미치는 자유진동모드벡터 또는 리츠벡터(Ritz Vector)만을 해석에 포함시킴으로써 효율성을 증대시키는 방법입니다. 아래의 그림은 모드 중첩의 기본개념인고, 여러 개의 자유도를 갖는 구조물의 변형형상을 하나의 대표모드만으로도 표현할 수 있다는 것을 보여줍니다.

- Subspace 반복 행렬 계산은 고유값 분석을 수행하는 데 사용됩니다. 이 방법은 대규모 유한요소계(행렬 시스템)에 대한 고유치해석을 수행할 때 효과적으로 사용됩니다.

- 삼중대각 행렬을 사용하여 고유값 분석을 수행합니다. 이 방법은 하위 모드에 대한 고유값 분석을 수행할 때 효과적으로 사용됩니다.

- 다자유도 구조물의 모드형상을 가정하여 단자유도 구조물로 치환한 뒤 고유진동수를 구하는 방법입니다. Rayleigh-Ritz 방법의 연장선상에서 관성력을 이용한 반복 계산 과정을 통해 향상된 리츠 벡터를 얻을 수 있다. 구조물의 변위가 어떤 형상에 의해 근사화될 수 있음에도 불구하고 한 형상이 아닌 여러 개의 리츠 벡터에 의해 변위가 근사화된다고 가정합니다. 동적 하중의 특성을 반영한 고유값을 사용함으로써 상대적으로 모드 수가 적은 일반 고유 벡터보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

D. 모드 조합법

고유치해석을 통해 구한 구조물의 고유주기와 탄성지진응답계수를 이용해 응답스펙트럼해석을 수행합니다. 개별모드에서 구해진 값들을 조합함으로써 단면력과 변위를 구합니다.

각각의 모드에 대한 최대값은 동시에 발생하지 않기 때문에 개별모드응답은 ‘Square Root of the Sum of the Squares’ (SRSS) 또는 ‘Compete Quadratic Combination’ (CQC) 방법으로 중첩하여 부재력과 변위의 최대값을 계산할 수 있습니다.

모드별 조합 방법(SRSS, CQC, ABS)의 단점은 모드간 부호의 영향을 고려할 수 없다는 것입니다. 이 결과는 주요 부재에 대한 부재력의 부호에 영향을 미쳐 중력방향 하중과의 부재력 조합에서 과대 또는 과소평가되는 문제를 발생시킵니다. 이것은 응답스펙트럼 해석에 의한 모드별 조합 방법의 근원적인 문제라고 할 수 있습니다. 프로그램을 이용한 해석 시에 이 문제를 어떻게 고려할지 대안이 필요합니다.

예를 들어, MIDAS CIVIL의 경우 구조물의 거동에 가장 큰 기여를 하는 주모드(Major Mode)의 부호를 이용하여 조합 결과를 계산하는 방식을 제안하고 있습니다. 대부분의 구조물의 경우에 각 방향별 1차 모드의 질량참여율이나 기여도가 가장 크기 때문에 각 방향별 1차 모드의 부호를 고려하여 조합을 하면 조합결과의 오차를 어느 정도 해소할 수 있습니다. 그러나 구조물의 비정형성이 강하거나 비틀림이 심하게 발생하는 경우에는 고차모드의 영향이 크게 나타나서 주모드의 구분이 어려운 경우가 있습니다. 이 경우에는 각 모드별 결과 중에서 절대값이 가장 큰 모드의 부호를 적용하는 것이 바람직합니다.

3. 철도 교량의 동해석

열차의 연속적, 주기적인 하중 특징을 반영한 동해석을 통해 철도교의 구조적인 안정성과 사용성 확보가 필요합니다. 철도교의 동적 해석은 교량의 고유진동수와 열차의 유효타격간격의 진동수가 일치되어 발생하는 공진(resonance)발생 가능성을 검토하는 것입니다.

A. 시간이력 해석

시간이력 해석법은 구조물의 동적특성과 가해지는 외부하중을 사용하여 임의의 시간에 대한 구조물 실제적인 거동(변위, 부재력등)을 계산하는 방법으로 모드간 구분이 명확하지 않거나 비선형해석이 필요한 경우에 사용합니다.

시간이력 해석법에는 모드중첩법(Mode superposition method)과 직접적분법(direct integration method)이 있습니다. 지진 해석에 시간이력 해석법을 사용하는 경우, 시간에 따른 지진에 의한 지반운동의 변화를 알 수 있을 때 구조물의 거동을 알아 낼 수 있는 정확한 해석방법이지만 예상되는 지반운동을 정확히 예측하기가 어렵다는 단점이 있습니다. 지진해석에서는 앞서 언급한 바와 같이 응답스펙트럼해석 방법이 보다 보편적으로 사용되며, 주기적인 하중을 가지는 철도 교량 동해석을 위해서는 시간이력해석을 수행해야 합니다.

시간이력 해석에서 시간에 대한 변수가 상당히 중요합니다. 해석 시간은 열차가 교량 시점부터 종점까지 완전히 통과 할 수 있도록 해야 합니다. 시간간격은 고차모드의주기, 하중의 주기와 밀접한 관계를 갖는 해석결과의 정확도에 상당한 영향을 미치는 변수이기 때문에 설계기준이나 구조해석 프로그램에서 제시하는 값을 확인해야합니다.

- 한 시점에서의 거동이 구해져 있을 때 다음 시점에서의 거동을 구하는 작업을 반복하여 전체시간 구간에 걸친 거동을 구하는 방법입니다.

- 구조물의 거동을 각 모드의 거동으로 분리하여 모든 모드에서의 응답을 전부 중첩시킴으로써 이론상 정확한 응답의 시간이력을 구하는 방법입니다.

B. 동적 절점 하중

해석에 입력하는 하중함수는 하나의 절점에 입력될 하중함수를 요소 길이와 차량바퀴간 거리에 따라 산출한 뒤, 도착시간에 따라 각 절점에 입력됩니다.

한 요소에 다수의 하중이 중첩되지 않도록 해야 합니다.

프로그램에서 제공하는 DB를 이용해서 열차하중을 정의할 수 도 있지만, 아래 그림과 같이 i에서 i+1으로 이동할 때를 하중재하, i+1에서 i+2로 이동할 때를 비재하로 간주하여 삼각형펄스하중으로 작성이 가능합니다.