Diseño de vigas cajón postensadas - De los cálculos manuales a la comprobación del diseño con midas Civil NX.
La sección transversal de los puentes puede estandarizarse en dos tipologías, vigas en I o secciones cajón, cada una de ella tiene ventajas y limitaciones, por ejemplo, la sección en I es más fácil de fabricar y es prácticamente ganadora en distancias de hasta 35 m, en cambio, para longitudes entre apoyos más largas, la sección cajón tiene ventaja ya que una sola celda puede soportar anchos de tablero superiores, ajustarse mejor a curvas cerradas, y al tener una mayor rigidez torsional, uso eficiente del concreto, pueden ser usadas para vanos de mayor longitud, esto ya dependerá del proceso constructivo usado.
Al diseñar una viga de sección cajón, es importante validar el desempeño de la sección ante los esfuerzos por compresión y tensión durante el proceso constructivo, etapa de servicio y que el trabajo en conjunto del concreto, tendones y refuerzo soporte las solicitaciones a las que estará sometido durante la vida útil.
Estas solicitaciones máximas están enmarcadas por AASHTO en estados límites de resistencia (cargas gravitacionales y uso normal), evento extremo y servicio.
El proceso inicia con la validación de fuerzas de tensión y compresión en la sección transversal mediante el equilibrio de fuerzas internas para determinar la profundidad del eje neutro y dado que la profundidad del presfuerzo cambia a lo largo de la viga, el proceso se vuelve iterativo al analizar para cada tramo de viga, la posición del eje neutro.
Cc + Cs = Ts + Tps
Donde:
- Cc: compresión del concreto del bloque de esfuerzos de Whitney
- Cs: Acero a compresión (si existe refuerzo en la zona a compresión)
- Ts: Refuerzo pasivo en zona en tensión
- Tps: Acero de presfuerzo
Este proceso, aunque resulta sencillo en explicación, requiere considerar múltiples parámetros y estimaciones previas, por ejemplo β1 , para la fuerza a compresión del concreto.
Todo inicia desde el cálculo de c (eje neutro), si este valor es pequeño, el acero fluye antes que el concreto por lo que la sección está controlada por tracción, si el valor de c es grande, podría indicar una cantidad de acero mucho mayor a lo que el concreto en compresión puede soportar, por tanto, podría tenerse una falla frágil del elemento.
Desde el aspecto normativo y conceptual, se presentan los aspectos a considerar para el cálculo de cada fuerza.
Cc : compresión del concreto del bloque de esfuerzos de Whitney
El parámetro β1 se indica en 5.6.2.2 – Rectangular Stress Distribution donde puede tomar estos valores:
si f'c ≤ 28 MPa ∴ β1 = 0.85
si f'c > 28 MPa ∴ β1 = 0.85 - 0.05(f'c - 4) ≥ 0.65 ksi
Luego Cc se calcula cómo 0.85f'cβ1bw donde bw es el ancho de la sección, aunque esta ecuación podría verse modificada si c se ubica en la zona de las almas ya que necesitaría considerarse el aporte del alma.
Cs : Acero a compresión (si existe refuerzo en la zona a compresión)
Ts : Refuerzo pasivo en zona en tensión
En este caso, el refuerzo está fluyendo, por tanto, se calcula como el área suministrada multiplicado por fy .
Tps : Acero de presfuerzo
En este caso, se tienen dos opciones para considerar el esfuerzo por tensión del presfuerzo, ya sea por indicaciones de AASHTO o por compatibilidad de deformaciones.
Dado que los tendones pueden ser adheridos o no, AASHTO plantea las siguientes ecuaciones para ambos tipos:
Adherido – bonded type (5.6.3.1.1)
Es necesario calcular fpu teniendo en cuenta las siguientes ecuaciones.
Donde
- c: es la distancia desde la fibra en compresión al eje neutro
- dp: es la distancia desde la fibra en compresión hasta el centroide del tendón (esto aplica para cada tendón)
- fpy y fpu: esfuerzo de fluencia y último del tendón.
Cuando el tendón es no adherido, AASHTO calcula el esfuerzo fps (5.6.3.1.2)
Donde:
- fpe: esfuerzo efectivo después de perdidas
- li: longitud del tendón entre anclajes
- Ns: Número de rótulas plásticas por apoyo
El cálculo de las fuerzas de compresión y tensión está directamente relacionado con el valor de c, al alcanzar la igualdad entre fuerzas de tensión y compresión, se calcula el momento que ejerce cada fuerza respecto el eje neutro y con esto obtener el momento resistente de la sección.
Para las secciones de concreto presforzadas controladas por tensión se tiene que el valor φ es 1, se debe verificar que la deformación del acero sea tal que se logre la fluencia de la barra, de lo contrario, deberá calcular el factor φ como se indica en la siguiente figura.
Figura 1: C5.5.4.2.-1 variación de φ
La estimación de la deformación del acero se realiza por equivalencia de triángulos como se muestra a continuación:
Figura 2: C5.6.2.1-1 Distribución de deformaciones
A fin de reducir la probabilidad de una falla frágil, se proporciona una capacidad a flexión mayor que el momento de fisuración, esto se conoce como momento mínimo que es calculado como el menor entre 1.33 veces el momento requerido por combinaciones (Mu) o Mcr (5.6.3.3-1).
Donde
- fr: módulo de rotura
- Mcr: momento de fisuración
- fcpe: es el esfuerzo de compresión en el concreto debido a fuerzas efectivas del postensado después de perdidas.
- Mdhc: momento debido a cargas muertas no mayoradas que actúa en la sección monolítica o no compuesta
- Sc: módulo de sección
- Snc: módulo de sección de la fibra extrema de la sección monolítica o no compuesta sometida a esfuerzos de tracción por cargas externas
En el caso de que las vigas sean diseñadas monolíticas o no compuestas, Snc es sustituido por Sc .
El parámetro fcpe se calcula como sigue:
Donde:
- fe: es la fuerza efectiva (después de perdidas) de cada tendón
- ep: es la distancia desde el centroide geométrico de la sección al centroide del tendón
- S: módulo de sección en compresión
- Ag: área gruesa de la sección
- Aps: área del tendón
En este caso, el cálculo se debe realizar para cada cable y luego, la sumatoria dividirla en el parámetro correspondiente.
Con los pasos anteriores se verifica el cumplimiento de la sección ante momentos a flexión positivos y negativos.
Ahora, para el diseño a cortante para secciones cajón de construcción NO segmental es necesario estimar los parámetros dv (C5.7.2.8-1) y de (5.7.2.8-2).
Para puentes segmentales, dv se calcula como 0.8 h o la dt como la distancia desde la fibra extrema a compresión al centroide del tendón.
Donde:
- dp y ds: es la distancia entre el borde en compresión al centroide del tendón y barra de refuerzo
Donde:
- Mn: momento nominal resistente de la sección
- h: altura total de la viga
El cálculo de de se realiza considerando la posición de cada tendón con la respectiva distancia desde el borde a compresión al elemento.
Esas distancias son ejemplificadas en la siguiente figura:
Figura 3: C5.7.2.8-1 ilustración de parámetros bv y dv
Luego, se calcula el esfuerzo por cortante νu (5.7.2.8-1) y estimar las separaciones máximas del refuerzo a cortante (5.7.2.6).
Para calcular la resistencia a cortante del concreto Vc (5.7.3.3-3), es necesario calcular la deformación unitaria, εs (5.7.3.4.2-4), luego, β (5.7.3.4.2-1).
Para el cálculo de εs es necesario conocer las fuerzas concurrentes para el cortante máximo y mínimo, así como seleccionar el máximo Mu.
En el caso del aporte por cortante del acero de refuerzo, Vs , se debe considerar θ (5.7.3.4.2-3) y λduct (5.7.3.3-5) previamente.
La resistencia nominal por cortante, Vn , se tiene como la sumatoria del aporte del concreto, el acero y el aporte vertical de la fuerza de postensado (5.7.3.3-1).
Además, para evitar que el concreto en el alma falle antes que el refuerzo transversal se debe garantiza la ecuación 5.7.3.3-2
Para finalizar con la validación del refuerzo por torsión, se pueden seguir los siguientes pasos:
- En caso de que el efecto de la torsión deba ser considerado, calcular la resistencia de diseño a torsión y compararla con Tu
- Calcular el momento de fisuración a torsión ( Tcr ) , de manera diferente según si la sección corresponde a una viga cajón segmental o no.
- Comparar el momento torsional factorizado ( Tu ) con el límite correspondiente , el cual varía según el tipo de viga (viga cajón segmental o viga cajón no segmental), con el fin de decidir si el efecto de la torsión debe ser considerado o no.
- En caso de que el efecto de la torsión deba ser considerado , calcular la resistencia de diseño a torsión y compararla con Tu
Para las vigas cajón no segmentales, Tcr (5.7.2.1-5), se calcula cómo sigue:
Donde fpc se calcula como sigue si el centroide está ubicado en el ala, si este se ubica en el alma, tan solo se toma la primera parte de la expresión (área gruesa como divisor).
Si el momento torsor, Tu ,es mayor 25% de Tcr (5.7.2.1-3) deberá calcularse el momento torsional resistente, Tn , (5.7.3.6.2-1), este se calcula según la ecuación:
De manera general, se han presentado las ecuaciones y consideraciones de AASHTO para la verificación del diseño a flexión, cortante y torsión de una viga cajón.
Ahora, al usar programas de modelamiento, análisis y diseño de puentes es común pensar que los datos y cálculos para diseño tomados por el programa son un misterio para el usuario y en este caso presentaremos desde un ejemplo de un puente viga cajón de dos vanos no segmental el proceso de diseño de manera manual extrayendo de Civil NX cada parámetro necesario para el diseño de la sección, así como también, el diseño de la viga cajón usando las herramientas de diseño del software.
Caso de estudio
Se modela un puente de sección cajón uniforme con dimensiones mostradas en la Figura 4. La longitud entre apoyos es 50 m (Figura 5), soportado por elastic links con rigidez lineal en Dx: 75000, Dy- Dx: 150, Ry: 100, Rz: 200 Ton/m.
Para soportar momentos negativos y positivos, se emplean 8 tendones (4 por costado de la viga cajón).
Figura 4: Dimensiones de la sección transversal
Figura 5: Vista isométrica del puente con trayectoria de cables de postensado
El proceso constructivo del puente es:
Construcción de subestructura
Figura 6: Vista isométrica de construcción de subestructura
Construcción de vigas con apoyos temporales
Figura 7: Vista isométrica de construcción de viga sobre apoyo temporal
Tensado de cables
Figura 8: Vista 3D de trayectoria de cables con apoyos temporales
Retiro de apoyos temporales y aplicación de cargas adicionales permanentes
Figura 9: Vista isométrica del puente con cargas adicionales de pavimento y barandas
Cargas de servicio: carga móvil, viento y temperatura
Figura 10: Vista isométrica del puente con cargas de servicio: temperatura, carriles de carga móvil
A continuación, se presentan los diagramas de flexión, cortante y torsión (My, Fz, Mx)
Figura 11: Diagrama de momento flector My [kN-m]
Figura 12: Diagrama de fuerza cortante Fz [kN]
Figura 13: Diagrama de momento torsor Mx [kN]
Para realizar la revisión del diseño de la sección transversal de manera manual es necesario conocer lo siguiente:
- Propiedades geométricas de la sección
- Propiedades mecánicas del material: concreto, refuerzo, tendones
- Fuerzas concurrentes para cada elemento, por combinación, y componente
- Fuerza de tendón después de perdidas
- Trayectoria de tendones para descomponer fuerza horizontal y vertical
- Coordenadas de acero de refuerzo en sección transversal
Las propiedades de la sección transversal se obtienen en la definición de cada sección seleccionando “ Show Calculation Results ”
Figura 14: Propiedades geométricas de la sección
El valor de f'c , fy se definen en la ventana: Design > PSC Design > Design Code: AASHTO LRFD20 > Modify Material (Figura 15).
Los valores del esfuerzo de fluencia y último del tendón, fpy - fpu , se definen por el usuario en la ventana: Load > Prestress > Tendon Property, donde también se configura el tipo de tendón (pretensado – postensado), (adherido o no adherido) (Figura 16).
Figura 15: Valores de f’c y fy para diseño de PSC
Figura 16: Definición de propiedad del tendón
Las fuerzas concurrentes para cada elemento y combinación se obtienen en: Results > Result Tables > Beam > Forces > [Definir elemento, combinación, componente] para este caso de estudio se diseñará el elemento 25 – i donde los valores máximos y mínimos se obtienen para las combinaciones 2 y 81. Al dar clic derecho, seleccionar la opción “ View by Max Value Item ”, marcando las componentes de fuerza de interés.
Figura 17: Fuerzas concurrentes por elemento, posición y combinación.
La extracción de la fuerza del tendón después de pérdidas se obtiene en la ventana: Results > Tendon > Tendon Loss > [Seleccionar el tendón y la última etapa constructiva].
El programa mostrará para cada tendón, en las componentes i – j de cada elemento la fuerza del tendón por perdidas inmediatas, deformación elástica, efectos reológicos, perdidas por relajación.
Figura 18: Fuerza del tendón después de perdidas
Dada la curvatura del tendón, la fuerza de este se descompone en la fuerza horizontal y vertical del mismo, para esto, es necesario conocer con precisión la trayectoria del cable, dicha trayectoria se puede extraer de Civil NX en la opción Load > Prestress > Tendon Profile Export to DXF.
Esto genera un archivo en .dxf con polilíneas para cada tendón en dirección vertical y transversal en capas independientes, las coordenadas de las polilíneas pueden ser copiadas a un archivo de Excel y calcular para cada δx y δy el ángulo para descomponer las fuerzas en las componentes horizontal y vertical.
Figura 19: Exportación de trayectoria del tendón a .dxf – trayectoria de cable en coordenadas
Como paso final, para realizar el diseño de la viga cajón postensada usando las funciones del programa, es necesario definir el refuerzo de la sección transversal en la ventana: Properties > Section Manager > Reinforcement; se define el refuerzo longitudinal, cortante y torsión (Figura 20).
La posición de cada una de las barras de refuerzo definidas se puede extraer mediante líneas de texto con la herramienta MCT Command Shell (Apps > MCT Command Shell > [Command or Data *Rebar-PSC]).
Figura 20: Asignación de refuerzo de la sección transversal
Figura 21: Extracción de información de refuerzo de la sección
Como información adicional, la ubicación del tendón en cada posición del elemento se puede revisar en la ventana: Properties > Section Manager > Stiffness que mostrará la posición del tendón respecto el centroide de la sección transversal.
Figura 22: Extracción de información de refuerzo de la sección
Con esta información de entrada, se procede con el cálculo del eje neutro, fuerzas y momentos para el diseño a flexión, cortante y torsión.
Los pasos por seguir para el diseño se presentan de manera resumida a continuación:
- Estimar fuerzas horizontales y verticales para cada tendón en el elemento
- Calcular parámetro β1
- Proponer un valor de c, mediante proceso iterativo encontrar equilibrio de fuerzas de compresión y tensión en la sección, de este valor, se desprenden los siguientes cálculos, el flujo de trabajo se presenta en Figura 23
- Calcular fuerza a compresión del concreto
- Calcular fuerza de acero en compresión (según posición de “ c ” para lograr la fluencia)
- Calcular fuerza de acero en tensión
- Calcular fuerza de tendones (en función de la distancia de “ c ” al tendón)
- Calcular deformación unitaria del acero
- Calcular momento por refuerzo mínimo a flexión
- Comparar momento último Vs momento resistente
Finalizado el diseño por flexión, el diseño por cortante requiere lo siguiente:
- Calcular dv , de
- Calcular νu
- Revisar separación máxima a cortante
- Proponer separación de refuerzo a cortante
- Calcular εs
- Calcular β
- Calcular Vc , Vs , Vn
Para el diseño por torsión se debe:
- Calcular fcp, K
- Calcular Tcr
- Si Tu es mayor a Tcr, requiere refuerzo por torsión
Figura 23: Diagrama de flujo para cálculo de c
Dado a que son múltiples cálculos por realizar, lo que resultaría en un documento extenso, se ha condensado el proceso en una hoja de cálculo que presenta de manera detallada el diseño por flexión, cortante y torsión de la viga cajón.
Ahora, realizando el diseño usando las herramientas de midas Civil NX, los anteriores pasos son seguidos al definir estas configuraciones:
- Refuerzo de la sección transversal
- Selección de normativa y parámetros de diseño
- Modificar materiales para el diseño
- Definir elementos a diseñar y generar reporte detallado
El refuerzo de la sección transversal se define en: Properties > Section Manager > Reinforcement, donde asigna el refuerzo longitudinal a flexión y cortante; esta función es usada para vigas en concreto de sección compuesta, monolíticas tipo cajón, vigas metálicas con losa en concreto
La selección del código de diseño se da en la ventana: Design > PSC Design > Design Code.
Luego en Design Code Optión, el usuario debe configurar el tipo de tendón, el cálculo de la fuerza de tensionamiento, nivel de corrosión y el tipo de construcción.
Esto determinará las ecuaciones a usar según los parámetros definidos.
Figura 24: Configuración global de parámetros de diseño
Para asociar los valores de f'c , fy se configuran en la ventana: Design > PSC Design > Modify Material.
Como paso final, seleccionar los elementos a diseñar y generar el reporte detallado en archivo de Excel: Design > PSC Design > Design Position, Output Position.
Es importante anotar que se deben cumplir ciertos requisitos para el diseño, por citar algunos, la sección transversal debe ser definida en la ventana PSC o Composite, incluir tendones a lo largo de la viga, tener definido refuerzo pasivo.
Con estos parámetros definidos, se podrán revisar esfuerzos durante etapa de servicio y construcción, resistencia por combinaciones de diseño como se muestran en las siguientes figuras.
Figura 25: Esfuerzos en etapa de construcción para parte inferior de la viga
Figura 26: Esfuerzos en etapa de servicio, parte inferior de la viga
Figura 27: Envolvente de momento My para combinaciones de diseño
Figura 28: Envolvente de cortante Fz para combinaciones de diseño
Finalmente, el reporte generado en Excel permite contrastar los cálculos desarrollados manualmente con los lineamientos de AASHTO.
Figura 28: Extracto del reporte generado en Civil NX
De esta manera, el ingeniero diseñador puede contrastar los cálculos manuales con lo reportado por el programa.
Para obtener la hoja de cálculo desarrollada, regístrese en el siguiente botón, y podrá descargar el modelo del puente en Civil NX, la hoja de cálculo manual, la guía de diseño de AASHTO 20 para midas Civil Nx y el reporte de diseño generado por el programa.
