1. 서론
수평토압은 연직방향으로 작용하는 수직응력에 대한 수평응력의 비로 나타낼 수 있다.
K = σh / σv
수평토압은 정지토압, 주동토압, 수동토압으로 구분된다.
정확한 표현이라고 말씀드릴 수 없지만 다음과 같이 이해해도 될 것 같다.
정지토압 : 흙이 변위가 발생하지 않은 자연 상태(횡방향 변위가 없는 상태)에서 수평 방향으로 작용하는 토압
주동토압 : 흙이 파괴되어 밀려 나올 때(흙이 팽창하여 파괴 될 때, 뒤채움 흙으로부터 멀어지는 횡방향 변위가 발생)의 수평 방향으로 작용하는 토압.
수동토압 : 흙을 밀어 넣을 때(흙이 압축하여 파괴 될 때, 뒤채움 흙 쪽으로 횡방향 변위가 발생)의 수평 방향으로 작용하는 토압.
수평토압의 크기는 잘 아시다시피 다음과 같다.
주동토압 < 정지토압 < 수동토압
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출처: Principles of Geotechnical Engineering Ninth Edition P537
수평토압은 Coulomb와 Rankine 토압공식이 유명하다.
그 중에 Coulomb 토압에 대해 알아보자.
Coulomb은 누구인가?
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Charles-Augustine de Coulomb (1736~1806)
프랑스의 물리학자, 토목공학자
벽에 작용하는 측면 토압에 대해 주동토압과 수동토압에 대한 이론(coulomb의 쐐기이론)을 제시하였다.
정전기력의 크기를 나타낸 쿨롱의 법칙으로 유명하다.
전하량을 나타내는 SI 단위 쿨롱은 그의 이름을 딴 것이다.
Coulomb’s Wedge Theory(1776)발표했을 때 어떤 사건이 있었을까?
우리나라는 조선시대 영조가 승하하고 정조(이산)가 즉위한 해이다. 미국은 독립선언서가 발표된 해라고 한다.
2. Coulomb의 수평토압
(1) Coulomb 토압의 기본 가정
1) 흙은 등방성이며 균질하다.
2) 파괴면은 평면이다.
3) 파괴 쐐기는 강체이다.
4) 압력면은 평면이다.
5) 압력면에 벽면마찰각이 존재한다.
6) 파괴는 2차원이고 흙은 점착력이 없다.
7) 토압의 작용 위치는 벽 높이의 1/3 지점으로 한다.
(2) Coulomb의 토압 공식
다음은 Principles of Geotechnical Engineering Ninth Edition의 내용을 일부 발췌하였다.
P575~P582
1) 쿨롱의 주동토압
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2) 쿨롱의 수동토압
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※ Coulomb의 토압 공식을 적용할 때 주의할 점
Coulomb의 토압 공식은 배면 경사각이 내부마찰각보다 큰 경우 분모의 루트(root) 안의 값 [sin(ϕ’ - α)]이 음수로 허수가 된다. 따라서 Coulomb의 토압 공식을 적용할 때는 배면 경사각이 내부마찰각보다 작아야 한다.
이는 시행쐐기법을 이용하여 계산할 때도 마찬가지이다.
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도로옹벽 표준도(2008)에서는 뒤채움 재료를 아래와 같이 적용하고 있다.
옹벽에 사용하는 뒤채움 토사는 느슨한 사질토, 세립분이 함유된 사질토의 경우 비탈면경사는 1(수직):1.8(수평), 흙의 내부 마찰각은 30°를 적용한다.
조립질 사질토는 비탈면경사 1:1.5, 흙의 내부 마찰각은 35°를 적용한다.
이때 사용하는 단위중량은 각각 19.0kN/m3, 20kN/m3이다.
옹벽의 뒤채움 재료는 배면경사에 따라 구분하여 적용하였다.
뒤채움재의 종류를 배면경사에 따라 구분하여 적용한 것은 배면경사가 뒤채움재의 내부마찰각보다 클 경우 비탈면의 불안정이 발생할 우려가 있기 때문이다.
3. Coulomb 쐐기 이론
Coulomb의 토압 공식은 배면 경사가 일정한 경우에 대해 정리된 것이다. 하지만 Coulomb의 시행쐐기법은 배면 경사가 일정하지 않은 경우, 배면에 하중이 재하되는 경우에도 토압을 계산할 수 있는 장점이 있다.
(1) 주동토압
Coulomb의 주동토압에 대한 시행쐐기와 힘의 다각형을 그려보자.
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① 선분AB = 토압의 작용면
② 배면토의 경사각은 수평으로부터 β의 각도를 가진다.
③ 수평면과 선분AB가 이루는 각은 α이다.
④ 벽체의 높이는 H이다.
⑤ 선분AC는 가정한 파괴면이며, 수평면과 선분AC가 이루는 각은 θ이다.
⑥ 흙쐐기의 무게 W = γ A이다.
여기서 A=(삼각형 ABC)의 면적이다.
흙쐐기의 면적(삼각형 ABC) = 1/2 × AC × BD
AC : 흙 파괴면의 직선 길이
BD : AC에 직각으로 그린 직선의 길이
sin의 법칙을 이용하면,
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그림 3-1 Coulomb의 주동토압 (나)힘의 다각형에서 sin법칙을 이용하면 Pa를 구할 수 있다.
%EC%8B%9C%ED%96%89%EC%90%90%EA%B8%B0%EB%B2%95%EC%9D%84%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C%20Coulomb%20%ED%86%A0%EC%95%95%20%EC%82%B0%EC%A0%95%ED%95%98%EA%B8%B0/%EC%88%98%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95%EC%9D%98%20%EA%B3%84%EC%82%B0%20Pp.png?width=1270&height=117&name=%EC%88%98%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95%EC%9D%98%20%EA%B3%84%EC%82%B0%20Pp.png)
※ sin법칙
삼각형ABC의 세 각의 크기 A, B, C와 세 변의 길이 a, b, c는 다음과 같은 식이 성립된다.
%EC%8B%9C%ED%96%89%EC%90%90%EA%B8%B0%EB%B2%95%EC%9D%84%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C%20Coulomb%20%ED%86%A0%EC%95%95%20%EC%82%B0%EC%A0%95%ED%95%98%EA%B8%B0/Sine%20%EB%B2%95%EC%B9%99%202.png?width=1270&height=117&name=Sine%20%EB%B2%95%EC%B9%99%202.png)
%EC%8B%9C%ED%96%89%EC%90%90%EA%B8%B0%EB%B2%95%EC%9D%84%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C%20Coulomb%20%ED%86%A0%EC%95%95%20%EC%82%B0%EC%A0%95%ED%95%98%EA%B8%B0/Sine%20%EB%B2%95%EC%B9%99%202_%EC%9D%B4%EB%AF%B8%EC%A7%80.png?width=922&height=914&name=Sine%20%EB%B2%95%EC%B9%99%202_%EC%9D%B4%EB%AF%B8%EC%A7%80.png)
그림 3-2 sin법칙
또한 ∑Fx=0, ∑Fy=0으로 두고 이원일차연립방정식을 풀어도 Pa를 구할 수 있으니 편한 방법을 이용하여 구하면 된다.
(식 3-1)을 (식 3-2)에 대입하여 정리하며 다음과 같다.
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(2) 수동토압
Coulomb의 수동토압에 대한 시행쐐기와 힘의 다각형을 그려보자.
%EC%8B%9C%ED%96%89%EC%90%90%EA%B8%B0%EB%B2%95%EC%9D%84%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C%20Coulomb%20%ED%86%A0%EC%95%95%20%EC%82%B0%EC%A0%95%ED%95%98%EA%B8%B0/Coulomb%EC%9D%98%20%EC%88%98%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95.png?width=1270&height=805&name=Coulomb%EC%9D%98%20%EC%88%98%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95.png)
수동토압의 계산은 주동토압 계산하는 방법과 동일하다.
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그림 3-1 Coulomb의 주동토압 (나)힘의 다각형에서 sin의 법칙을 이용하면 Pp를 구할 수 있다.
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(3) 엑셀을 이용한 시행쐐기법
엑셀을 이용하여 흙쐐기의 파괴각도를 가정하고 그래프를 그리면 다음 그림과 같이 표현할 수 있다.
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4. 결론
(1) 엑셀을 이용한 토압 계산과 결과 비교
토질역학책의 토압계수 값과 엑셀로 계산한 값을 비교해보자.
1) 주동토압
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출처: Principles of Geotechnical Engineering Ninth Edition P579
벽체와 수평면이 이루는 각 α = 90°
배면경사 β = 0°
벽면마찰각 δ = 0°
Ka= 0.3333
%EC%8B%9C%ED%96%89%EC%90%90%EA%B8%B0%EB%B2%95%EC%9D%84%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C%20Coulomb%20%ED%86%A0%EC%95%95%20%EC%82%B0%EC%A0%95%ED%95%98%EA%B8%B0/%EC%A3%BC%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95%EA%B3%84%EC%88%98.png?width=1270&height=691&name=%EC%A3%BC%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95%EA%B3%84%EC%88%98.png)
그림4-1 주동토압계수
2) 수동토압
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출처: Principles of Geotechnical Engineering Ninth Edition P582
벽체와 수평면이 이루는 각 α = 90°
배면경사 β = 0°
벽면마찰각 δ = 0°
Kp= 3.000
%EC%8B%9C%ED%96%89%EC%90%90%EA%B8%B0%EB%B2%95%EC%9D%84%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C%20Coulomb%20%ED%86%A0%EC%95%95%20%EC%82%B0%EC%A0%95%ED%95%98%EA%B8%B0/%EC%88%98%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95%EA%B3%84%EC%88%98.png?width=1270&height=691&name=%EC%88%98%EB%8F%99%ED%86%A0%EC%95%95%EA%B3%84%EC%88%98.png)
(2) 배면경사가 내부마찰각보다 큰 경우 토압계수의 적정성 여부
배면경사가 내부마찰각보다 큰 경우 토압계수를 적용가능한지에 대해 알아보자.
벽체와 수평면이 이루는 각 α = 90°
배면경사 β = 34° > 내부마찰각 ϕ = 30°
벽면마찰각 δ = 0°
1) 주동토압
주동토압계수 Ka= 6.162로 계산된다.
주동토압계수는 1.0보다 클 수 없으므로 이 값은 유효하지 않다.
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그림4-3 주동토압계수(β>ϕ)
2) 수동토압
수동토압계수 Ka= 10.784로 계산된다.
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그림4-4 수동토압계수(β>ϕ)
쿨롱의 토압계수 공식에서는 배면경사가 내부마찰각 보다 큰 경우는 계산을 하지 못한다.
시행쐐기법을 이용하면 배면경사가 내부마찰각보다 큰 경우를 계산할 수는 있으나 그 값이 유효하지 않으므로 사용할 수 없다.
배면경사가 내부마찰각보다 큰 경우에는 점착력을 고려하면 유효한 토압을 산정할 수 있다. 하지만 점착력은 토질실험을 통해 구해진 값이고 현장에서는 시간이 지남에 따라 토질의 성질이 변할 수 있어 적당한 점착력을 고려하기가 어렵다.
따라서 일반적인 토압계산에서는 점착력을 고려하지 않는다.
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국내 설계 업계에서 근무하고 있습니다.
교량, 지중 구조물 등의 설계에 참여하였고, 해석 프로그램은 주로 MIDAS Civil을 사용하였습니다.
여러분께 도움이 되었으면 합니다.
