지반수치해석 - 수치해석법과 관습해법을 통한 안전율 추정

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수치해석은 한계이론 해석과 달리 안전율에 대한 정보를 바로 전달해 주지 않습니다.

그러나 기존의 설계는 이러한 정보를 요구하기 때문에 설계자는 결국 수치해석을 통해 업무가 자유스러워 진 것이 아니라, 보다 더 많은 일을 추가적으로 수행하게 되는 경우가 많습니다. 그러나 대상문제에 따라 수치해석법을 이용하여 이러한 정보를 전부 혹은 부분 제공이 가능합니다.

이 글에서는 단순한 수치해석이 아닌, 수치해석을 이용하여 설계 안전율을 구할 수 있는가 하는 문제를 살펴보고자 합니다.

1. 지반 수치해석과 안전율

설계는 붕괴에 대한 안정성 확보와 사용성의 보장을 목적으로 합니다.
이러한 전통적인 설계체계에 비추어 수치해석은 사용성, 즉 변형을 따지는 문제는 쉽게 충족시킬 수 있습니다.

그러나 안전율은 한계이론법으로 정의된 것이므로 수치해석으로 구하기 쉽지 않습니다.

따라서 문제에 따라 그에 상응하는 고도의 모델링 기법과 수치해석적 고려가 필요합니다.

최근 우리나라에서 안전율과 관련한 수치해석 사용의 오류도 발견되고 있어 이에 대한 진지한 고찰이 필요합니다.

중요한 토류 구조물 및 지반문제를 대상으로 살펴보도록 하겠습니다.

1) 기초의 예

그림 1. 사용성과 안전성문제 (기초의 예)

기초를 보면 그림과 같이 사용성과 안전성 개념이 분명하게 정의됩니다.

이 때, 수치해석을 통해 침하를 구하면 사용성에 대한 해답은 바로 얻을 수 있을 것입니다.

그렇다면 “지지력은?” 혹은 “안전율은?” 에 대한 답변도 가능할까요?

정답을 말씀드리자면 기초문제의 경우 수치해석으로도 안전율을 구할 수 있습니다.

이를 위해서는 전통적 수치해석 개념을 탈피하여 지반공학의 현상적 특성의 이해로부터 출발하여야 합니다.

가장 쉽게 생각할 수 있는 방법은 수치해석을 이용하여 재하시험을 모사하는 것입니다.

기초모델을 작성하고 재하하중을 점차 늘려 가면서 해석을 수행하고 하중-침하곡선을 그려보면 그림 2 와 같이 나타납니다.

그림 2. 수치해석에 의한 기초의 하중-침하곡선

이 결과는 평판재하 시험결과와 거의 같습니다. 따라서 수치해석을 컴퓨터를 이용한 모형실험으로 보고, 평판재하시험에서 지지력을 구하듯 수치 해석 결과로부터 지지력을 평가할 수 있습니다.

모사해석을 수행하고 이로부터 얻어진 해석결과를 분석하는 작업을 거쳐야 안전율을 구할 수 있습니다.

허용지지력 기준이 설정된 경우라면 바로 안전율을 계산하고 요건을 만족하는 지 확인 가능합니다.

이 과정을 잘 살펴보면 수치해석의 용도는 물론 모사 아이디어에 따라 다양한 목적으로 확대될 수 있음을 알 수 있습니다.

2) 사면의 예

수치해석을 이용하여 안전율을 얻는 가장 흔한 예 중의 하나는 사면 안정문제입니다.

사면이 단일강도기준을 만족한다고 할 때 F = Tu/Tm 입니다. (여기서Tu는 전단강도, Tm은 유동된 전단응력)

수치해석을 이용하여 사면안정을 구하는 방법은 이 이론에서 출발합니다.

즉, 전단강도를 일정 비율로 감소시켜가며 해석할 경우 파괴가 일어난 때의 가정 Φm으로부터 안전율은 사질지반의 경우 근사적으로 다음과 같이 정의될 수 있다는 것입니다.

전단강도를 전단응력 수준으로 저감시켜가면 최취약부(통상 사면하단부)에서 대변형이 일어나서 수치해석적으로 적분이 불가능한 상태, 즉 수렴이 안되는 상태에 이르게 됩니다. 이 조건은 국부파괴에 해당되나 이때 사면의 전단파괴 형상이 이미 거의 정해지고, 전단소성 변형율도 파괴면을 따라 크게 진전되어 파괴상태로 보는 데 문제가 없습니다.

이 방법을 ‘강도감소법’이라 하며, 수치해석적으로 사면안전율을 구하는 일반적인 방법입니다.

그림 3 은 사면에 대하여 이 개념에 의한 사면상태를 예시로 나타낸 것입니다.
그러나 강도감소법은 기하학적 상태가 복잡하거나 강도파라미터가 다수의 변수로 구성되는 경우 개념적 타당성의 성립이 모호해지고 신뢰성도 문제가 될 수 있습니다. 특히, 강도변수가 단순한 Mohr-Coulomb 모델을 사용 할 때만 근사적으로 적용될 수 있는 방법입니다. 또한 파괴로 정의하는 비수렴 조건은 비선형 해석에서는 여러 제어 변수에 의해 달라질 수 있으므로 임의성도 큽니다.

그림 3. 수치해석에 의한 사면 안정 해석
(전단소성 변형률과 파괴면 관계)

3) 터널의 예

터널의 사용성과 안정성문제는 그림 4와 같이 살펴볼 수 있습니다.

터널설계의 경우 사용성 문제는 터널자체는 물론 주변구조물에 대하여도 확인해야 합니다.

붕괴도 다양한 형태로 발생될 수 있으므로 이 중 가장 취약한 붕괴모드가 안전기준 이상에 있도록 해야 합니다.

그림 4. 터널의 안정 문제와 사용성 문제의 예

터널은 굴착 중에 안전율이 최소가 되는 특징이 있습니다.

현장의 붕괴데이터를 고찰해보면 지반특성, 터널형상, 지하수 조건 등 다양한 영향요소에 영향을 받는 것으로 나타납니다.

특히 풍화암 등 절리가 거동을 지배하는 지반의 경우 붕괴모드는 특정형태로 일정하게 나타나지 않습니다.

터널 실무에서 이러한 붕괴모드에 대한 안전율을 검토하는 것이 현재 보편화 되어 있지는 않습니다.

그리고 무엇보다도 터널 붕괴가 주로 굴착면에서 발생하므로, 이는 통상적인 2차원 평면변형모델로 접근하기 어렵다는 문제가 있습니다. (그림 5)

그림 5. 터널 굴착면의 배수조건의 파괴모드

이러한 상황을 고려할 때 수치해석으로 터널 굴착면의 안전율을 구하는 문제는 일견 매우 난감해 보입니다.

우선 굴착면 붕괴가 주요 붕괴모드이므로 3 차원 해석이 필수일 것입니다.

물론 대상 터널의 거동이 터널 축방향이 아닌 터널 횡방향으로 보다 취약한 구조라면 이차원적 검토가 가능할 수도 있습니다.

더 중요한 문제는 횡방향 안전율이 터널의 대표 안전율이 아니라는 데 있습니다.

앞서 지적한 대로 굴착면 혹은 굴착면 모서리의 붕괴모드가 더 지배적이기 때문입니다.

그리고 현재의 터널모사는 2차원적이고 라이닝 설치를 위하여 하중 분담율을 적용하므로 이로부터는 절대 안전율을 얻을 수 없고 얻으려고 노력해서도 안 됩니다.

최근에는 해석적 방법과 수치해석이 타협적 고려를 통해 안전율을 평가하는 방법이 시도되기도 합니다.

즉, 붕괴모드는 수치해석으로 그리고 이 붕괴모드에 대하여 고전적 한계이론으로 안전율을 구하는 방법입니다.

그러나 터널의 경우 수치해석을 통해 안전율을 구할 수 는 없더라도 파괴모드는 추정할 수 있습니다.

안전율은 추정한 파괴면에 대하여 한계이론해석등을 적용하여 검토할 수 있습니다.

그러나 문제는 여기에 사면안정에서와 같은 개념의 안전율 산정이 가능할 것인가입니다.

사면은 완성된 구조물을 전제로 하고 있지만 터널은 굴착하중을 단계별로 가하는 증분해석이고, 일정하중을 라이닝
이 분담하는 형태로 모사합니다. 터널의 거동은 일단 라이닝이 설치되면 변형의 진전은 크지 않습니다. 무지보에서 붕괴에 이르지 않는 터널은 안정한 터널이며 자립시간 관리의 문제만 남게 됩니다.

따라서 이 상태에서 강도를 저감하여 해석할 필요가 없습니다.

사면의 경우 예측 가능한 파괴모드에서 비수렴상태가 발생하므로 근사적으로 안전율 개념을 적용할 수 있으나, 사면과 같은 방법으로 터널의 파괴모드를 예측하기는 쉽지 않습니다. 또, 다양한 지층으로 구성되는 경우도 많기에 일정 비율로 강도 정수를 내리는 가정도 바람직하지 않습니다.

지금부터 수치해석을 통해 파괴모드를 추정하는 방법을 살펴보겠습니다.

일반적으로 소성변형율 등고선이 집중되는 지역은 궁극적인 파괴면의 위치를 시사한다고 볼 수 있습니다.

그러나 이에 대한 보다 확실한 증거는 증분변위벡터와 응력의 속도 특성치(VC)를 고찰함으로써 확인할 수 있습니다.

그림 6에 나타난 바와 같이 파괴형상은 증분벡터로부터, 파괴면은 속도 특성치로부터 파악할 수 있습니다.

이들 정보와 소성전단변형율의 전파 방향으로부터 파괴모드를 추정할 수 있습니다.

수치해석적 방법에 의한 터널의 파괴모드를 추정하는 일반적인 절차를 요약하면 다음과 같습니다.

1) 지반거동 및 터널경계조건을 적절히 고려한 모델링

(비선형 강성특성 등을 고려하는 적절한 응력-변형율 및 투수계수 모델 사용)

2) 비선형 Coupled-증분해석의 수행 (필요시)

(파괴가 일어나지 않는 경우 취약 파라미터를 선정한 파라미터 예 민도 분석시행)
3) 해석결과의 증분변위벡터 - 소성전단변형율 - VC 의 연계분석
4) 분석된 파괴메카니즘을 토대로 한계평형해석, 한계이론 등에 의한 안정해석

그림 6. 파괴모드 추정 변수

그림 7은 이러한 접근방법으로 특정 화강토 지반에서의 파괴모드를 추정한 예시입니다.

그림 7. 화강토지반 터널의 파괴모드 추정 ( 지하수 아래 터널 조건)

지금까지 대표적 토류 구조물로부터 수치해석을 이용한 전통적 설계의 안전율 개념을 고려해 봤습니다.

결론을 요약하면 수치해석을 통해 특정 문제에 대해서는 안전율의 해를 간접적으로 구할 수 있다는 것입니다.

대상 문제의 거동을 수치해석으로 적절히 모사할 수 있는 경우만 수치해석법을 활용하여 설계 안전율 개념을 추정할 수 있습니다.

국제적으로 용인되지 않는 방법으로 상업용 프로그램을 이용하여 손쉽게 설계 안전율을 구하려는 시도는 매우 조심스러워야 합니다. 그러한 시도를 할 경우 맨 먼저 해석적 혹은 역학적으로 굳건한 이론적 체계를 정립하고 이를 논리적으로 검증을 받을 필요가 있다는 점 잊지 않으시면 좋겠습니다.